Materi Statistik Dasar – Teori Probabilitas / Teori Peluang

LiveJournal Tags: Materi Statistik Dasar – Teori Probabilitas / Teori Peluang

TEKNIK INFORMATIKA
TEORI PROBABILITAS / TEORI KEMUNGKINAN / TEORI PELUANG

Pendahuluan

Dalam statistika kadang-kadang timbul suatu persoalan bagaimana keyakinan kita untuk mempercayai kebenaran hasil dari penyelidikan suatu data atau kesimpulan yang dibuat. Yakinkah 100% bahwa hasil penyelidikan atau kesimpulan yang dibuat itu benar atau ragu-ragukah untuk mempercayainya. Untuk menjawab persoalan itu diperlukan teori probabilitas. Sesuai dengan namanya maka teori ini akan membahas tentang ukuran atau derajat kemungkinan kepastian/ketidakpastian suatu peristiwa. Ada 2 cara perumusan tentang teori kemungkinan ini:

a. Perumusan klasik

b. Perumusan frekuensi relatif

A ) Perumusan Klasik

Apabila suatau peristiwa (event) E dapat terjadi sebanyak a dari sejumlah n kejadin yang mempunyai kemungkinan sama untuk terjadi, maka probabilitas peristiwa E dapat dirumuskan sebagai berikut :

P(E) = ^a/_n

Ket :P : Probabilitas

E : Event

a : banyaknya percobaan

n : banyaknya yg muncul

Contoh Soal :

a) Apabila kita melempar sebuah mata uang logam, berapakah probabilitas gambar burung ada di atas?

P(B) = a/n = ½

P(A) = 1/2

b) Apabila kita melempar sebuah dadu. Berapakah probabilitas angka 3 di atas?

P(3) = a/n = 1/6

P(ganjil) = 3/6 = ½

P(genap) = 3/6 = 1/2

c) Sebuah kotak berisi 20 kelereng, di mana 5 berwarna merah, 12 putih dan sisanya hitam kemudian kelereng tersebut diamabil sebuah. Berapakah probabilitas bola warna hitam?

P(H) = 3/20

P(M) = 5/20

P(P) = 12/20

B ) Rumusan Probabilitas Frekuensi Relatif

Apabila kita mengadakan percobaan sebanyak n yang dilakukan secara berulang-ulang sehingga mendekati tak terhingga dan apabila a merupakan jumlah kejadian khusus, maka probabilitas peristiwa E merupakan harga limit dari frekuensi relatif ^a/_n.

Rumus : P (E) = lim a

n → ∞ n

Contoh :

· Jika kita melempar sebuah mata uang logam sebanyak 1000 kali ternyata gambar burung ada di atas sebanyak 519 (maka frekuensi relatifnya = 519/1000 = 0,519). Bila uang ini kita lempar lagi sebanyak 5000 kali dan hasil gambar burung ada di atas sebanyak 2530 (maka frekuensi relatifnya = 2530/5000 = 0,506). Jika proses demikian diteruskan sampai n tak terhingga, maka nilai frekuensi relatifnya lambat laun akan makin mendekati sebuah bilangan yang merupakan probabilitas burung itu sendiri yaitu 0,5

Ø Beberapa aturan Probabilitas

a) Probabilitas Suatu Peristiwa

Peristiwa E dapat terjadi sebanyak a kali diantara sejumlah n kejadian yang mungkin. Jadi jelas bahwa batas-batas probabilitas E adalah antara 0 hingga 1

0 P (E) 1

artinya apabila

P (E) = 0 maka peristiwa E pasti tidak terjadi.

P (E) = 1 maka peristiwa E pasti terjadi.

Jika kemungkinan terjadinya peristiwa E disebut P(E) maka besarnya probabilitas bahwa peristiwa E tidak terjadi adalah

P(E) = 1 – P(E)

P(E) = probabilitas tidak terjadinya suatu peristiwa

Contoh: Probabilitas lulus ujian statistik 75% à P(stat) = 0,75; Jadi probabilitas tidak lulus statistik adalah → P (stat) = 1 – 0, 75

= 0,25

b) Probabilitas Peristiwa- peristiwa Lebih dari Satu Macam

§ Peristiwa Mutually exclusive

Dua peristiwa merupakan peristiwa mutualy exclusive jika terjadinya peristiwa yang satu menyebabkan tidak terjadinya peristiwa yang lain. Dengan kata lain kedua peristiwa itu tidak dapat terjadi bersamaan.

P ( A ...) = P (A) + P (B) + ...

Contoh:

1. Jika melempar sebuah mata uang logam. Berapakah probabilitas burung atau angka ada di atas?

P (B A) = P (B) + P (A)

= ½ + ½ = 1

2. Sebuah kotak berisi 10 kelereng merah, 18 hitam dan 22 putih. Kelereng diaduk baik-baik lalu diambil sebuah secara random. Berapakah probabilitas akan terambil kelereng merah atau hitam ?

P (M H) = P (M) + P (H)

= ¹⁰/₅₀ + ¹⁸/₅₀

₌0,2 + 0,36 = 0,56

§ Peristiwa Non Exclusive

Dua peristiwa dikatakan Non Exclusive jika kedua peristiwa itu dapat terjadi secara bersamaan (irisan).

P (A B) = P (A) + P (B) – P (A B)

Contoh :

1. Ada satu set kartu remi (52) yang akan diambil salah satu. Berapa probabilitas dalam sekali pengambilan itu akan diperoleh kartu King atau Hati.

P (K H) = P (K) + P (H) – P (K H)

= ⁴/₅₂ + ¹³/₅₂ - ¹/₅₂

= 0,076 + 0,25 - 0,019

= 0,31

2. Suatu kumpulan mahasiswa terdiri dari 30 mahasiswa pria dan 20 wanita. Dari perkumpulan itu diketahui terdapat 10 mahasiswa pria fakultas ekonomi dan 15 wanita fakultas ekonomi, sedangkan sisanya dari fakultas lain. Apabila kita mengambil seorang mahasiswa secara random, berapakah kemungkinan seorang mahasiswa yang terambil tersebut adalah mahasiswa pria atau mahasiswa fakultas ekonomi.

P (P W) = P (P) + P (W) – P (P W)

= ³⁰/₅₀ + ²⁵/₅₀ – ¹⁰/₅₀

= 0,6 + 0,5 – 0,2

= 0,9

c) Peristiwa Independent (Bebas)

Dua peristiwa dikatakan Independent jika terjadinya atau tidak terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi dan tidak dipengaruhi oleh peristiwa lain.

P (A B ...) = P (A) x P (B) x ...

Contoh :

1. Apabila diketahui bahwa probabilitas si A akan hidup 25 th lagi adalah 0,65 dan kemungkinan si B akan hidup 25 th lagi adalah 0,25. Berapakah probabilitas si A dan si B akan hidup 25 th lagi ?

P (A B) = P (A) x P (B)

= 0,65 x 0,25

= 0,16

2. Dari 100 unit barang yang diperiksa terdapat 20 barang yang rusak. Berapakah probabilitas dalam 3 kali pengambilan akan diperoleh barang yang bagus semua sehingga (barang yang sudah diambil dikembalikan lagi)

P (R) = 20/100 = 0,2 (yg rusak)

P (B) = 1 – P (R)

= 1 – 0,2

= 0,8

P ( I II III) = P (I) x P(II) x P(III)

= ⁸⁰/₁₀₀ x ⁸⁰/₁₀₀ x ⁸⁰/₁₀₀

= 0, 51

d) Peristiwa Dependent (Bersyarat)

Dua peristiwa dikatakan Dependent jika terjadinya peristiwa yang satu mempengaruhi atau merupakan syarat terjadinya peristiwa lain.

P ( A B) = P (A) x P (B | A)

Contoh :

1. Dari 100 mahasiswa ditanya tentang matakuliah yang paling digemari, didapat jawaban sbb :

- 40 mahasiswa gemar akuntansi

- 30 gemar statistk

- 30 tidak gemar keduanya

Kalau kita mengambil 2 orang mahasiswa berurutan secara random (setelah dipilih tidak dikembalikan lagi). Berapakah probabilitas dalam pengambilan itu akan terdapat seseorang mahasiswa yang senang akuntansi dan seorang lagi senang statistik.

Jawab :

I. P (Akun, statistik) = 40/100 x 30/99

= 0,4 x 0,30 = 0,12

II. P (statistik, akun) = 30/100 x 40/99

= 0,3 x 0,40 = 0,12

Jadi probabilita mahasiswa yang senang akuntansi dan seorang lagi senang statistik adalah 0,12 + 0,12 = 0, 24

2. Ada 2 buah kotak, sebut kotak A & B.

Kotak A berisi 25 bola merah dan 10 bola putih. Kotak B berisi 5 bola merah dan 15 bola putih.

Apabila salah satu dari kotak itu kita ambil 2 bola secara berururtan (setelah diambil tidak dikembalikan lagi. Berapakah probabilitas dalam pengambilan bola pertama akan bewarna merah dan pengambilan kedua putih ?

Jawab :

I. A (m, p) = ²⁵/₃₅ x ¹⁰/₃₄ = 0,71 x 0,29 = 0, 21

II. B (m, p) = ⁵/₂₀ x ¹⁵/₁₉ = 0,25 x 0,78 = 0, 20